Konsep Dasar Trigonometri Kelas 10 SMA

Pada tulisan ini rumahpintar akan membahas materi yang dipelajari di kelas X mata pelajaran matematika wajib yaitu konsep dasar trigonometri. Beberapa hal penting yang akan menjadi materi prasyarat yang wajib kalian kuasai untuk lanjut ke materi berikutnya, diantara: konsep sudut, satuan sudut meliputi satuan derajat dan satuan radian dan bagaimana cara konversi satuan derajat ke satuan radian serta cara konversi satuan radian ke satuan derajat, dan kita juga akan belajar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

Sudut

Pastinya kalian sudah pernah belajar dan sudah paham mengenai definisi sebuah sudut karena sudah kalian pelajari saat SMP bahkan SD. Sudut adalah hasil rotasi (perputaran) sinar garis dengan titik pangkal sebagai titik pusat putaran. Sudut bernilai positif jika arah putarannya berlawanan arah jarum jam, dan bernilai positif jika arah putarannya searah jarum jam.

Ukuran Sudut (Satuan Sudut)

Ukuran besar suatu sudut dapat dinyatakan dengan dua satuan, yaitu satuan derajat dan satuan radian.

Satuan derajat

Satu putaran sama dengan $360^\circ$, maka $1^\circ$ dapat di definisikan sebagai $\frac{1}{360}$ putaran, atau dapat ditulis:

1 putaran $=360^\circ\Leftrightarrow 1^\circ=\frac{1}{360}$ putaran

Satuan radian

Satuan radian dapat didefinisikan sebagai panjang busur dan jari-jadi suatu lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dan penjelasan di bawah ini.

Besar sudur $AOB$ dalam satuan radian adalah perbandingan panjang busur $AB$ dengan jari-jari lingkaran $(r)$

$\angle AOB=\frac{\text{panjang AB}}{r}$ radian

Jika panjang busur sama dengan jari-jari ($AB=r$), maka akan diperoleh ukuran sadut 1 radian.

$\angle AOB=\frac{r}{r}=1$ radian.

Jadi untuk besar sudut 1 radian dapat kita peroleh dengan membuat busur yang panjangnya sama dengan jari-jari.

Hubungan Satuan Derajat dan Satuan Radian

Perhatikan ilustrasi di bawah ini:

Jika sinar garis $OA$ diputar satu putaran, maka akan dipeoleh panjang busur $AB$ = keliling lingkaran = $2\pi r$, sehingga:

$\angle AOB=\frac{\text{Busur AB}}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi$ radian

Jadi,

1 putaran $=2\pi$ radian

Oleh karena 1 putaran $=360^\circ$ maka diperoleh hubungan:

$360^\circ=2\pi$ radian $\Leftrightarrow 180^\circ=\pi$ radian

Dengan demikian kita peroleh:

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1

Nyatakan besar sudut berikut dalam satuan derajat:

$\frac{2}{3}$ putaran
$\frac{3}{4}\pi$ radian
$\frac{5}{6}\pi$ radian

Penyelesaian:

Ingat:

1 putaran $=360^\circ$, jadi untuk merubah "putaran" ke satuan derjat, kita kalikan dengan $360^\circ$.

Sementara, untuk merubah satuan radian ke satuan derajat, kita kalikan dengan $180^\circ$, karen $\pi$ radian $=180^\circ$

$\frac{2}{3}$ putaran $=\frac{2}{3}\times 360^\circ=240^\circ$
$\frac{3}{4}\pi$ radian $=\frac{3}{4}\times 180^\circ=135^\circ$
$\frac{5}{6}\pi$ radian $=\frac{5}{6}\times 180^\circ=150^\circ$

Soal 2

Nyatakan besar sudut berikut dalam satuan radian:

$\frac{2}{3}$ putaran
$225^\circ$
$330^\circ$

Penyelesaian:

Ingat: 1 putaran = $2\pi$ radian, dan $1^\circ=\frac{\pi}{180}$ radian

$\frac{2}{3}$ putaran $=\frac{2}{3}\times 2\pi$ radian $=\frac{4}{3}\pi$ radian
$225^\circ=225\times \frac{\pi}{180}$ radian $=\frac{4}{5}\pi$ radian
$330^\circ=330\times \frac{\pi}{180}$ radian $=\frac{11}{6}\pi$ radian

Perbandingan trigonometri Pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku, terdapat dua sisi yang saling tegak lurus dan satu sisi terpanjang yang disebut hipotenusa (pada tulisan ini kita sebut saja hipotenusa sebagai sisi miring) seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap perbandingan pasangan sisi pada segitiga siku-siku mempunyai nama tertentu, yaitu: sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan dan cotangen. Berikut ini perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku:

$\sin{\alpha}=\frac{\text{depan}}{\text{miring}}$
$\cos{\alpha}=\frac{\text{samping}}{\text{miring}}$
$\tan{\alpha}=\frac{\text{depan}}{\text{samping}}$

Untuk mudah mengingat ketiga perbandingan di atas, ingat kalimat berikut: "sindemi cosami tandesa" maksudnya, sin perbadingan depan per miring, cos perbandingan samping per miring dan tan perbandingan depan per samping.

Untuk tiga perbandingan lainnya, yaitu cosecan, secan dan cotangen yang perlu diingat adalah cosecan adalah kebalikan dari sin, secan kebalikan dari cos, dan cotangen adalah kebalikan dari tan. Misal, jika diketahui $\sin {\alpha}=\frac{2}{3}$, maka $\csc{\alpha}=\frac{3}{2}$. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Soal 3:

Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini

Tentukanlah:

$\sin{\alpha}$
$\cos{\alpha}$
$\tan{\alpha}$
$\csc{\alpha}$
$\sec{\alpha}$
$\cot{\alpha}$

Penyelesaian:

Pada gambar segitiga di atas, sisi miring (hipotenusa) panjangnya belum diketahui, jadi perlu kita cari terlebih dahulu menggunkan teorema pythagoras.

$\begin{align*}\text{miring}&=\sqrt{3^2+2^2}\\&=\sqrt{9+4}\\&=\sqrt{13}\end{align*}$

Jadi,

$\sin{\alpha}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2}{13}\sqrt{13}$
$\cos{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3}{13}\sqrt{13}$
$\tan{\alpha}=\frac{2}{3}$
$\csc{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{2}$
$\sec{\alpha}=\frac{\sqrt{13}}{3}$
$\cot{\alpha}=\frac{3}{2}$

Demikian pemaparan singkat konsep dasar trigonometri meliputi macam-macam satuan sudut beserta cra konversinya dan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku.

See Also :

Rumah Pintar

Konsep Dasar Trigonometri Kelas 10 SMA